第22章

丘赛总决赛在中关村的一栋学术大楼里举行。

全国三十六所高校，七十二名选手。

进场的时候，我注意到一个细节——签到表上每个人的名字旁边都标注了学校和年级。

大部分选手是大三大四，研究生也不少。

大一的，只有我一个。

签到台的志愿者看了我一眼。

“林北……华北理工……大一？”

“嗯。”

她多看了我两眼，没说什么。

候场区里，赵天翔在角落做最后的复习。我坐在他旁边，但没带任何资料。

“你不看看？”

“看了也记不住。该会的都会了，不会的临时抱不了佛脚。”

他摇了摇头，但合上了自己的笔记本。

“也是。”

比赛分四个方向：代数、分析、几何、数论。每个方向五道题，选手任选一个方向。

我选了分析。

赵天翔选了几何。

分析方向的考场在五楼，一间普通的教室，二十三个选手，五道题，三个半小时。

拿到试卷的瞬间，我快速浏览了五道题。

前三道是标准难题，高水平选手都能做。

第四道涉及微分方程的定性分析，需要构造Lyapunov函数。有一定技巧性，但不算极难。

第五道——

我看了三遍题面。

心跳加速了。

这道题的核心是一个无穷级数的收敛性判定，但条件给得极其刁钻——标准的比较判别法、积分判别法全部失效。

这是一道需要“发明新方法”的题。

三个半小时。

我用了两个小时做完前四道。

剩下一个半小时，全部给了第五题。

我在草稿纸上尝试了七种不同的途径。

第一种：Abel求和。失败。

第二种：构造Cesàro均值。失败。

第三种：Tauberian定理。走了一半，卡住了。

第四种：转化为积分，用渐近分析。走了一大半，在尾项估计上出了问题。

第五种：把级数看成随机变量的期望——概率化方法。有趣，但太耗时间，放弃。

第六种：把收敛性翻译成函数空间里的范数有界性。走了三步，发现本质上等价于第四种方法，放弃。

第七种——

我停下笔，闭上眼睛。

脑子里把之前六种方法的失败原因过了一遍。每种方法失败的位置不同，但有一个共同点——都卡在了尾项行为的精确估计上。

尾项。

尾项的行为取决于级数的渐近结构。

渐近结构……

我睁开眼，拿起笔。

如果我不去估计尾项，而是把整个级数分成有限段和尾部，用对有限段的精确计算来“锁定”尾部的行为呢？

具体来说——构造一个截断算子，把级数在第N项截断，证明截断后的有限和满足某个递推关系，然后利用递推结构的稳定性来控制尾部。

递推结构。

又是递推结构。

我的老朋友。

笔像是有了自己的意志，在纸上飞速推导。

截断——递推——稳定性——上界——

最后一步。


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