第495章 他已经找到方向了

于是他又尝试用拉普拉斯变换把迹公式从谱域转到时间域，在时间域上做局部涨落的匹配。

可塞尔伯格迹公式在时间域上的核函数是一个高度奇异的超几何函数，拉普拉斯反变换之后会出现一堆很难处理的分支切割，数值上也许能逼近，但是解析上根本走不通。

肖宿只能换另一种方法，他打算用随机矩阵理论里的黎曼-希尔伯特方法，把零点分布表示为一个随机矩阵特征值的联合概率密度，然后用正交多项式展开来逼近。

不过，泽塔函数的零点不是有限维矩阵的特征值，它的希尔伯特空间是无穷维的，正交多项式展开在无穷维极限下的收敛性是没有任何保证的，这个方法自然也就没走通。

接下来几天，肖宿偶尔去钱敛和唐森那边转转，给他们解答一些问题，然后和顾清尘探讨一些关于《数学原理》的内容，除此之外，他所有的业余时间都用在思考黎曼猜想上了。

钱敛那边进展不错，表面等离激元极化子的激发效率已经达到了肖宿预估值的百分之八十，剩下的就只是工艺精度的细调了。

倒是唐森那边遇到了一点麻烦，分布式整流天线阵列在小尺寸下的能量转换效率一直上不去，肖宿又花了点时间帮他重新推了一遍整流电路的阻抗匹配条件，把天线单元的几何参数从原先的均匀排列改成了基于和乐轨道等价类的非均匀分布，转换效率立刻跳了一小截。

顾清尘那边在赶《数学原理》倒数第二章的注释，有几处肖宿写的核心推导实在太浓缩了，他看不懂，肖宿就和顾清尘对照着稿件一步一步核对了一遍。

解决完琐事，肖宿就把过去几天试过的所有方法都在脑子里重新过了一遍。

迹公式加扰动展开，发散，不行。

拉普拉斯变换加时间域匹配，分支切割处理不了，不行。

随机矩阵加正交多项式，无穷维极限不收敛，不行。

非交换几何加谱三元组加塞尔伯格迹公式，只能得到全局谱测度，局部涨落还是对不上，不行……

这些方法虽然都从不同角度逼近了如何在一个统一的数学框架里同时描述零点分布的全局平均和局部涨落这个个核心问题，但是每种方法都会在最后一步功亏一篑。

这个问题已经卡住了那些全世界最杰出的数学头脑一个多世纪了，哈代、李特尔伍德、塞尔伯格、蒙哥马利、孔涅，每个人都用自己的方式在墙上凿开了一道裂缝，但是没有一个人能凿穿。

现在肖宿似乎也被它拦在了山脚下。

肖宿看着铺满了稿纸的办公桌，眉头狠狠地皱了起来。

再难的题也会有自己的答案，他没找到，只是因为方向找错了而已。

那么，方向会在哪儿呢？

……

又是一个无比平常的深夜。

天枢工程的研究基地远离城市，四周数百公里内没有任何人口密集区，夜晚安静得能听到远处超算机房冷却系统传来的低沉嗡鸣。

肖宿没有思路，不得不将黎曼猜想先放到一边。

他白天先去钱敛那边看了新一批信号发射原型的测试数据，又帮唐森解决了分布式整流天线阵列在低空飞行器蒙皮上集成的几个机械结构问题，傍晚和顾清尘一起吃了个晚饭，聊了一会儿《数学原理》最后一章的架构，回到宿舍之后不久就洗漱睡下了。

他睡觉一直很轻，能清晰的感觉到自己的潜意识还在运转，这一天和往常一样，他躺在床上，白天那些反复出现过的数学工具、那些零散的逻辑碎片，开始一个一个轮番上场、反复变换拼接。

半梦半醒之间，一个念头毫无征兆地浮上了水面。

既然扰动展开在零点间距极小时发散，那为什么还要坚持用扰动展开呢？

蒙哥马利用随机矩阵理论导出对关联函数时，他的前提假设是零点分布满足高斯辛系综的特征值统计规律，这个假设对于全局统计是对的，但是它本质上是把零点当作随机矩阵的特征值来处理，随机矩阵的特征值是离散的、有限维的，而泽塔函数的零点有无穷多个。

一旦离开有限维假设，正交多项式展开就失去了收敛性。

那如果反过来，不把零点当作随机矩阵的特征值，而是把随机矩阵的特征值分布当作一个连续谱测度在高维流形上的投影呢？

塞尔伯格迹公式给出的是这个连续谱测度在低维截面上的全局平均，蒙哥马利对关联函数给出的是同一谱测度在另一个方向上的局部涨落。

它们并不是两个互相独立的东西，而是同一个几何体在两个不同维度投影的两种不同测量结果。

想要把它们统一起来，其实根本不需要扰动展开，也不需要进行拉普拉斯变换，更不需要正交多项式，只要把两个不同维度的投影映射回同一个高维几何体框架中不就行了？

这个方法肖宿之前在处理NS方程涡量场时其实早就用过了。

一个看似在高维空间中随机分布的涨落模式，通过和乐群的约束被锁定在一个低维叶状结构上，那个叶状结构上每一条轨道的几何形态都对应着涡量场的一个稳定模态。

同样的，泽塔函数的零点分布应该也是如此，它全局均匀，局部精细，如果把这种涨落看作某个高维流形上谱测度在不同截面上的投影，那么塞尔伯格迹公式和蒙哥马利对关联函数就是同一个谱测度在全局和局部两个不同维度投影的测量结果了。

“唰”的一声，肖宿瞬间从床上坐起身来，双眼亮如晨星。

他翻身下床，拧开了台灯。

桌上还铺着前几天没推完的草稿纸，上面密密麻麻全是各种被划掉的尝试路径。

他把草稿纸推到一边，翻开一页新的坐标纸。

或许，他已经找到方向了。


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